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o : obm-l@mat.puc-rio.br 24 March 2007 • 1:17AM -0400

Re: [obm-l] Congruência, módulo m
by Ronaldo Alonso

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   Vou dar uma explicação básica, embora os problemas envolvendo congruencia
possam ser bem complexos.

   Dois números inteiros são congruentes modulo m se apresentam
o mesmo resto da divisão por m
   Em programação de computadores,  temos o operador mod, que
calcula o resto da divisão de dois inteiros:

  6 mod 2 = 0  (resto da divisão é zero)
  7 mod 2 = 1 (resto da divisão é um).

   O símbolo de congruencia é representado por 3 traços.  Não tenho um
caracter aqui em meu teclado para
esse símbolo, portanto vou usar o símbolo ~
   Assim exemplificando:

    4 mod 2 = 0
    6 mod 2 = 0

isso significa que 6 e 4 são congruentes modulo 2 e escrevemos:

   6 ~ 4 mod 2

   Note que eu escolhi o símbolo de equivalência, porque a congruencia
modulo m é uma relação de equivalência.
Ela é reflexiva, simétrica e transitiva (mais explicações sobre isso eu
posso dar depois).

   No caso de conguencia modulo 2 temos dois casos (classes de
equivalência):  Os números que
são congruentes módulo 2 (os números
pares, cujo resto da divisão é zero) e os que não
são congruentes módulo 2 (os ímpares).   No caso de módulo 3 teríamos 3
classes de
equivalência, os números cujo resto da divisão é zero, cujo resto é um e
cujo resto é 2.
     Certo.
     Agora note que essas classes tem elementos disjuntos  (números pares,
por exemplo não são impares, etc).  Quando isso acontece, dizemos que o
conjunto,
no caso os inteiros, foi PARTICIONADO.
    Isso não acontece só no caso da congruência módulo m, mas de qualquer
relação
de equivalência.  Essa relação induz uma divisão ou partição no conjunto.  O
quociente
desta divisão, no caso da congruência modulo 2, são os números pares e os
números
impares.
    Podemos escrever algo sugestivo como :  Z / ~ (mod 2)  =  (pares) +
(ímpares)

Ok agora é só generalizar para mod m.
       Os pares por exemplo, podemos chamar de [0] e os ímpares de [1]

  Podemos inclusive definir operações com as classes de equivalência:   A
soma de um
par com um ímpar é sempre um ímpar: [0] + [1] = [1].

      [0] + [0] = [0]
      [0] + [1] = [1]
      [1] + [0] = [1]
      [1] + [1] = [0]

    A operação é associativa, comutativa, possui elemento neutro, é fechada
e
possui elemento inverso e portanto  forma um grupo abeliano.
   Bem. Vou ficando por aqui.  Qualquer dúvida pergunte!

Abraço!

Ronaldo Luiz Alonso












On 3/23/07, Bruna Carvalho <bruna.carvalho.pink@gmai...> wrote:
>
> Alguém poderia me ajudar em como usar, para que serve a tal de congruência
> mod m, alguns exemplos de apliacação.
>
> --
> Bjos,
> Bruna




--
Ronaldo Luiz Alonso
------------------------------------------
Analista de Desenvolvimento
CREA-SP

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